Simple Harmonic Motion - Definition, Formula

Simple Harmonic Motion - Definition, Formula


Simple Harmonic Motion


First sight the eight physical systems :
  • a simple pendulum, a mass $m$ swinging at the end of a light rigid rod of length $l$
  • a flat disc supported by a rigid wire through its centre and oscillating through small angles in the plane of its circumference
  • a mass fixed to a wall via a spring of stiffness $s$ sliding to and fro in the $x$ direction on a frictionless plane
  • a mass $m$ at the centre of a light string of length $2l$ fixed at both ends under a constant tension $T$. The mass vibrates in the plane of the paper
  • a frictionless U-tube of constant cross-sectional area containing a length $l$ of liquid, density $\rho$, oscillating about its equilibrium position of equal levels in each limb
  • an open flask of volume $V$ and a neck of length $l$ and constant cross-sectional area $A$ in which the air of density $\rho$ vibrates as sound passes across the neck
  • a hydrometer, a body of mass $m$ floating in a liquid of density $\rho$ with a neck of constant cross-sectional area cutting the liquid surface. When depressed slightly from its equilibrium position it performs small vertical oscillations
  • an electrical circuit, an inductance $L$ connected across a capacitance $C$ carrying a charge $q$
All of these systems are simple harmonic oscillators which, when slightly disturbed from their equilibrium or rest postion, will oscillate with simple harmonic motion. This is the most fundamental vibration of a single particle or one-dimensional system. A small displacement $x$ from its equilibrium position sets up a restoring force which is proportional to $x$ acting in a direction towards the equilibrium position.

Simple Harmonic Motion


Thus, this restoring force $F$ may be written
\[F=-sx\]
where $s$, the constant of proportionality, is called the stiffness and the negative sign shows that the force is acting against the direction of increasing displacement and back towards the equilibrium position. A constant value of the stiffness restricts the displacement $x$ to small values (this is Hooke’s Law of Elasticity). The stiffness s is obviously the restoring force per unit distance (or displacement) and has the dimensions \[\frac{force}{distance}=\frac{MLT^{-2}}{L}\]
The equation of motion of such a disturbed system is given by the dynamic balance between the forces acting on the system, which by Newton’s Law is \[mass\,times\,acceleration=restoring\,force\]
or \[m\ddot{x}=-sx\]
where the acceleration \[\ddot{x}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\]
This gives \[m\ddot{x}+sx=0\]
Or \[\ddot{x}+\frac{s}{m}x=0\]
where the dimensions of \[\frac{s}{m}\,\,are\,\,\frac{MLT^{-2}}{ML}=T^{-2}=\nu^{2}\]
Here $T$ is a time, or period of oscillation, the reciprocal of $v$ which is the frequency with which the system oscillates.

However, when we solve the equation of motion we shall find that the behaviour of $x$ with time has a sinusoidal or cosinusoidal dependence, and it will prove more appropriate to consider, not $\nu$, but the angular frequency $\omega$ = $2\pi\nu$ so that the period \[T=\frac{1}{\nu}=2\pi \sqrt{\frac{m}{s}}\]

where $s/m$ is now written as $\omega^{2}$. Thus the equation of simple harmonic motion  \[\ddot{x}+\frac{s}{m}x=0\]

becomes \[\ddot{x}+\omega ^{2}x=0\]
Selengkapnya »
Soal Jawab Elastisitas Zat Padat

Soal Jawab Elastisitas Zat Padat

Sebuah pegas ujung bawahnya digantungi beban 100 gram. Konstanta gaya pegas 50 N/m dan percepatan gravitasi, g = 10 \(m/s^{2}\). Pegas akan memanjang sebesar ... cm.

Pembahasan :



Sebuah kawat baja dengan luas penampang 0,5 \(mm^{2}\) ditarik dengan gaya sebesar 1000 newton. Tegangan bahan baja tersebut adalah ... \(N/m^{2}\).

Pembahasan :



Sebuah kawat baja memiliki panjang 5 meter. Ketika digantungi beban sebesar 1000 N, kawat tersebut memanjang sebesar 1 cm, maka besar regangan baja tersebut adalah ... .

Pembahasan :



Sebuah kawat baja dengan panjang 5 meter dan luas penampang 0,5 \(mm^{2}\) jika ditarik dengan gaya sebesar 1000 newton, kawat tersebut akan memanjang sebesar 1 cm, maka besar modulus elastisitas baja tersebut adalah ... .

Pembahasan :



Selengkapnya »
Elastisitas Zat Padat - Hukum Hooke - Pendahuluan

Elastisitas Zat Padat - Hukum Hooke - Pendahuluan

Benda apapun akan berubah oleh karena bekerjanya gaya yang diberikan padanya. Jika gaya-gaya cukup besar, benda akan patah atau mengalami fracture. Jika sebuah gaya diberikan pada benda lain seperti pegas yang digantung vertikal, panjang benda akan berubah. Jika besar perpanjangan, \(\Delta x\), lebih kecil dibandingkan dengan panjang benda, eksperimen menunjukkan bahwa \(\Delta x\) sebanding dengan berat atau gaya yang diberikan pada benda. Dapat kita tuliskan sebagai persamaan \[F=k\Delta x\]

Di sini, \(F\) menyatakan gaya (atau berat) yang menarik benda dan \(\Delta x\) adalah perubahan panjang, dan \(k\) adalah konstanta pembanding (kemudian kita definisikan sebagai konstansa elastisitas bahan). Persamaan di atas biasa disebut sebagai Hukum Hooke* dari Robert Hooke (1635 – 1073) yang bertama kali mengungkapkannya, ternyata berlaku untuk hampir semua materi padat dari besi sampai tulang, tetapi hanya sampai suatu batas tertentu. Karena jika gaya terlalu besar, benda meregang sangat besar dan akhirnya patah.


Gambar berikut menunjukkan grafik yang khas dari pertambahan panjang terhadap gaya yang diberikan. Sampai suatu titik yang disebut batas proporsional, persamaan Hukum Hooke di atas merupakan pendekatan yang baik untuk banyak materi umum, dan hanya berlaku pada kurva yang merupakan garis lurus. Setelah titik ini, grafik menyimpang dari garis lurus, dan tidak ada satu pun hubungan sederhana antara F dan \(\Delta x\). 


Meskipun demikian, sampai suatu titik yang lebih jauh sepanjang kurva yang disebut batas elastik, benda akan kembali ke panjangnya semula jika gaya dilepaskan. Daerah dari titik awal ke batas elastik disebut daerah elastik. Jika benda direnggangkan melewati batas elastik, ia memasuki daerah plastik; benda tidak akan kembali ke panjang awalnya ketika gaya eksternal dilepaskan, tetapi tetap berubah bentuk secara permanen (sebagai contoh kendurnya karet gelang). Perpanjangan maksimum dicapai pada titik patah. Gaya maksimum yang dapat diberikan tanpa benda tersebut patah disebut Kekuatan Ultimat dari materi tersebut (atau gaya per satuan luas).

Besarnya pertambahan panjang sebuah benda, seperti gambar pegas di atas, tidak hanya bergantung pada gaya yang diberikan padanya, tetapi juga pada bentuk materi pembentuk dan dimensinya. Jika kita membandingkan batang yang dibuat dari materi yang sama tetapi dengan panjang dan penampang lintang yang berbeda, ternyata untuk gaya yang sama, besarnya regangan sebanding dengan panjang awal dan berbanding terbalik dengan luas penampang lintang. Di sini kita masih menganggap perubahan panjang lebih kecil jika dibandingkan dengan panjang total. Semakin panjang benda, semakin besar pula pertambahan panjangnya untuk suatu gaya tertentu, dan semakin tebal benda tersebut, semakin kecil pertambahan panjangnya. Penemuan-penemuan ini dapat digabungkan dengan persamaan \[\Delta L=\frac{1}{E}\frac{F}{A}L_{0}\]
di mana, \(L_{0}\) adalah panjang awal benda, \(A\) adalah luas penampang lintang dan \(\Delta L\) merupakan perubahan panjang yang disebabkan gaya \(F\) yang diberikan. \(E\) adalah konstanta perbandingan** yang disebut sebagai modulus elastik, atau modulus Young, dan nilainya hanya bergantung pada materi. Dari persamaan \(\Delta L=\frac{1}{E}\frac{F}{A}L_{0}\), kita lihat bahwa perubahan panjang sebuah benda berbanding lurus dengan hasil kali panjang benda \(L_{0}\) dan gaya per satuan luas \(\frac{F}{A}\) yang diberikan padanya.

Umumnya, gaya per satuan luas didefinisikan sebagai \(tegangan\) atau \(stress\), disimbolkan dengan \(\sigma\)
\[\sigma=\frac{gaya}{luas}=\frac{F}{A}\]
yang memiliki satuan \(\frac{N}{m^{2}}\). Juga, \(regangan\) atau \(strain\), disimbolkan dengan \(\epsilon\) didefinisikan sebagai perbandingan perubahan panjang terhadap panjang awal:
\[\epsilon=\frac{perubahan\,panjang}{panjang\,awal}=\frac{\Delta L}{L_{0}}\]
dan tidak berdimensi (berarti juga tidak memiliki satuan).

Regangan dengan demikian merupakan perubahan fraksional dari panjang benda, dan merupakan ukuran mengenai seberapa jauh batang tersebut berubah bentuk. Tegangan diberikan terhadap materi dari arah luar, sementara regangan adalah tanggapan materi terhadap tegangan. Persamaan-persamaan di atas dapat ditulis ulang dalam bentuk lain sebagai :
\[\frac{F}{A}=E\frac{\Delta L}{L_{0}}\]
atau
\[E=\frac{\frac{F}{A}}{\frac{\Delta L}{L_{0}}}=\frac{tegangan}{regangan}\]
atau
\[E=\frac{\sigma}{\epsilon}\]
dengan satuan \(\frac{N}{m^{2}}\)

*Istilah “hukum yang dipakai untuk hubungan ini sebenarnya tidak tepat, karena, pertama, hubungan ini hanya merupakan pendekatan, dan kedua, hanya mengacu ke beberapa fenomena yang terbatas. Sebagian besar fisikawan lebih suka membatasi pemakaian kata “hukum” untuk hubungan-hubungan yang lebih mendalam dan lebih merangkum dan tepat, seperti hukumhukum gerak Newton atau hukum kekekalan energi.

**Fakta bahwa \(E\) adalah penyebut, sehingga \(\frac{1}{E}\) merupakan konstanta perbandingan yang sebenarnya, hanya merupakan ketentuan. 


Terima kasih sudah ke sini untuk membaca dan belajar fisika. Jangan ragu untuk menyukai posting blog, berlangganan blog dan berkomentar untuk berinteraksi lebih dengan saya. Selamat belajar ya. 

Thank you for coming here to read and study physics in this blog. Feel free to like, subscribe and comment. Have a nice learning.
Selengkapnya »

Usaha Energi Daya

Listrik Magnet

Mekanika

Impuls Momentum

Optik

Universitas

Soal Jawab